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平均自由行程

粒子の運動の模式図。

走行距離の分布を取り、平均値を計算する。これが平均自由行程となる。

平均自由行程(へいきんじゆうこうてい、mean free path)とは、物理学や化学において使用される用語で、分子や電子などの粒子が、散乱源(同じ粒子の場合もあれば、異なる粒子の場合もある)による散乱で妨害されること無く進むことのできる距離の平均値のことを言う。また場合（流派）により、平均自由行路ということがある。

平均自由行程の算出式は、その系の特性や粒子により異なってくる。そのため、一般的な場合、ランダムな速度を持った粒子が、散乱源に衝突するまでの距離として、次の式で表記可能である。

$\ell = (n\sigma)^{-1}$

ただし、 $\ell$ は平均自由行程(単位の次元はm)で、nは、散乱源の密度(単位の次元は個/m3)、σは散乱時の有効断面積(単位の次元はm2)である。もし、粒子の速度がマクスウェル分布に従う場合、この式は次の形で表すことができる。

$\ell = (\sqrt{2}\, n\sigma)^{-1}$

いくつかの系での例

大気中の気体の場合

大気中では、大気を構成する分子がお互いに衝突しながら散乱している。平均自由行程は、この衝突から衝突までの間に分子が進む距離の平均となる。この大小は気体分子同士やその気体の入っている容器を構成する分子への衝突回数の大小も表しており、マクロ的には、気圧と言う形で観測される。気体の真空度(＝気圧)と、そのときの気体分子の個数と、平均自由行程の関係を示したものが以下の表である。

真空度	気圧 (hPa)	分子 / cm3	平均自由行程
大気圧	1013	2.7*1019..	68 nm
低真空	300..1	1019..1016	0.1..100 μm
中真空	1..10-3	1016..1013	0.1..100 mm
高真空	10-3..10-7	1013..109	10 cm..1 km
超高真空	10-7..10-12	109..104	1 km..105 km
極超高真空	<10-12	<104	>105 km

材質中の電子の場合

半導体や金属中の電子は電界に加速されながら、電圧の低い側から高い側へ移動する。この時、材質を構成する原子が散乱源となる。電子の質量は原子の質量より遥かに小さいため、散乱のたびにほとんどの速度と運動量を失い、再度電界で加速される。この平均自由行程は、マクロ的には、材質の抵抗値と言う形で観測される。

衝突電離

詳細は衝突電離を参照。

散乱の際に、電子(もしくはホール)等のキャリアの速度が十分な速度(運動エネルギー)に達していた場合、電子は散乱により運動量を失うだけでなく、散乱源の原子を電離(イオン化)させる。これは、高電界をかけた場合に発生し、生じたキャリアが更なる衝突電離を発生させると、アヴァランシェ・ブレークダウン(avaranche breakdown)と呼ばれる正のフィードバックが働き、急激な電流の増加を生じさせる。

※avalanche breakdownの明確な訳語は無く、「雪崩現象」「雪崩」「雪崩崩壊」と訳される場合もある。スクリーニング効果

衝突電離の捕獲断面積は、電子と原子核間のクーロン力で決定される距離(デバイ長)で決定される。しかし、材質中に衝突電離で生じた電子が増えると、電子自体が散乱源の原子核を「見えにくく」してしまう。これを、スクリーニング効果もしくは単にスクリーニングと言う。このスクリーニング効果により、捕獲断面積が減少し、平均自由行程も増加する。

数式の導出

一般的な場合

捕獲断面積の考え方

平均自由行程を考える際には、粒子がある領域を移動する際に、どの程度の粒子が散乱の影響を受けるか、その比率が必要となる。これは、以下に示す考え方で求めることができる。

一辺がLの正方形を断面に持つ、厚さdxの直方体を考える。この体積は、L2dxであり、この中に含まれる散乱源の個数は散乱源の密度nより、nL2dxとなる。これらの散乱源はその中心から一定半径の距離内に入った粒子(衝突径数が一定値以下になる粒子)を散乱させる。これは、散乱源が一定の面積を持っていると考えることができ、これを捕獲断面積(cross section)と言う。この捕獲断面積と散乱源の個数から、この直方体での総捕獲断面積は、次の形で計算される。

Scapture = nL2σdx

この直方体の断面積はL2であるため、この直方体で粒子が散乱される確率は、次の式で表される。

$Rate_{capture} = {{S_{capture}}\over{S_{all}}} = {{nL^2\sigma dx}\over{L^2}} = n\sigma dx$

この確率から、粒子の個数Iの減少量dIは、厚さdxに対して、次の式で表される。

dI = Inσdx

これは微分方程式として解くことができ、その解は、最初の粒子の入射数をI0とすれば、I = I0exp( － x / (nσ))となる。これが粒子の走行距離とその比率であるため、この平均が平均自由行程となる。したがって、平均自由行程 $\ell$ は、次の式で表される。

$\ell = (n\sigma)^{-1}$

外部リンク

気体の物理のツールボックス VHSモデルを使用した場合の気体の平均自由行程を算出する。

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